Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, grüß Gott. Wir haben das etwas schwierige Thema der Jodanormalform erst einmal hinter uns gelassen.

Nicht im Sinne von vergessen natürlich, aber wir wissen jetzt alles drüber,

wobei ich immer das Gefühl habe, nichts darüber zu wissen.

Und sind jetzt zu einem sehr schönen Thema gekommen und zu einem Begriff, dessen Bedeutung nicht überschätzt werden kann.

Sagen wir mal in Form von Einfluss auf unsere unsumgebende Technik,

ist das vielleicht der entscheidende Begriff der Linie an Algebra, sozusagen ein Zauberding,

was man da machen kann, nämlich die Singulärwertzerlegung.

Okay, was ist die Singulärwertzerlegung?

Da so weit waren wir schon das letzte Mal.

Es gibt eine Singulärwertzerlegung für jede beliebige rechteckige Matrix, also ohne jede Einschränkung.

Das einzige, was wir hier brauchen, ist, wir können das nicht beim allgemeinen Körper machen,

sondern wir brauchen sozusagen eine euklidische Struktur, wir brauchen ein Skalarprodukt,

weil wir von Orthogonalität reden wollen.

Also wir machen das über C oder R, haben eine allgemeine rechteckige Matrix mit M-Zahlen und N-Spalten,

und die Singulärwertzerlegung versucht jetzt, diese natürlich im Allgemeinen nicht diagonalisierbare Matrix zu diagonalisieren

und sogar orthogonal, unitär zu diagonalisieren.

Und den Preis, den wir dafür zahlen, ist, dass wir zulassen, dass im Bild,

dass im Urbild und im Bildraum unterschiedliche Ortonormalbasen benutzt werden.

Das heißt, wir suchen orthogonale bzw. unitäre Matrizen U der Dimension MM, V der Dimension NN,

sodass die betreffende Transformation von A, das U adjungiert AV, oder damit gleich das U auch minus 1 AV,

einer Diagonalmatrix, ist eine rechteckigen Diagonalmatrix.

Und die Zahlen auf der Diagonale, die sich dann immer als reell wählbar herausstellen,

und das nutzen wir dann auch aus, um sie dann gleich mit einem richtigen Vorzeichen zu verstehen,

größer Null, man könnte es natürlich auch mit kleiner Null machen, aber irgendwie sind uns doch die positiven Zahlen angenehmer,

und die dann auch anzuordnen, ich habe es aus eigener Kraft in Gang gebracht,

weil wir die heilende Hand schon ihre Fernwirkung kennen.

Okay, also wir wollen nicht nur den Spezialfall nur noch anschauen, der kein Spezialfall ist,

sondern immer erreichbar ist, dass diese Sigma I nicht nur reell sind, sondern dass sie größer gleich Null sind,

und dass wir sie dann auf der Diagonale dann auch absteigend anordnen.

Wenn wir diese Zusatzgeschichte haben, die nicht zwingend ist, aber sozusagen die Sache etwas übersichtlicher macht,

dann sprechen wir nicht nur von Singulärwertzerlegung, sondern von normierter Singulärwertzerlegung.

Und die Vektoren, die Spalten von V und U sind unsere singulären Vektoren, genauer gesagt unsere rechten bzw. linken singulären Vektoren.

Okay, wir haben schon gesehen, dass wenn wir eine Singulärwertzerlegung einer Matrix haben,

wir sofort auch die Singulärwertzerlegung der adjungierten Matrix haben. Das heißt also,

wir können uns auf eine Situation die Zeilen und Spaltenanzahl betreffend zurückziehen,

und wir betrachten deswegen nur die Situation M größer gleich N, mindestens so viele Zeilen wie Spalten.

Also eher den überbestimmten Fall als den unterbestimmten Fall ist auch ein bisschen der relevantere Fall.

Okay, das Bild hat hier unten einen Fehler, wie Sie wahrscheinlich bemerkt haben.

So würde das dann aussehen und wir schauen also nur, da sind ziemlich viele Fehler drauf, fällt mir gerade auf, das ist natürlich auch ein Fehler.

Wir schauen nur den Fall M größer oder beziehungsweise M gleich N an.

Okay, die Vorgehensweise ist jetzt die folgende. Wir neiten aus der Existenz einer Singulärwertzerlegung

notwendige Bedingungen an die dort auftretenden Größen, also an die singulären Werte sigma i

und an die singulären Vektoren vi und ui ab und stellen gleichzeitig sicher, dass wir diese Bedingungen auch erfüllen können.

Das muss man natürlich immer gleich mit bedenken und so werden wir am Schluss auf diese Weise einen Existenzbeweis führen.

Und die erste Beobachtung ist die, dass es einen engen Zusammenhang gibt der Singulärwerte unserer allgemeinen Matrix A

und den Eigenwerten von zwei speziellen Matrizen, nämlich A, A adjungiert beziehungsweise A adjungiert A.

Vielleicht schauen wir erstmal auf diese Matrizen. Diese Matrizen sind scheinbar zumindest wesentlich angenehmer als A.

Das sind quadratische Matrizen. Hier eben die Dimension gleich der Spaltenanzahl, hier die Dimension gleich der Zeilenanzahl

und es ist nicht nur quadratisch, sondern es sind auch selbst adjungiert. Wenn ich jetzt hier adjungiert bilde von A adjungiert A,